CALCULO VECTORIAL 2014- R

CALCULO VECTORIAL

Contenido de la semana

SUPERFICIES CILÍNDRICAS
LA RECTA EN R3
RECTA DETERMINADA POR 2 PUNTOS
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
EL PLANO
ECUACIÓN DEL PLANO
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA ESFERA
ANÁLISIS GRÁFICO DE SUPERFICIES
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
DOMINIO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
CONTINUIDAD
DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

LUNES 07 DE JULIO

El primer día, la Ingeniera nos habló sobre el método de realizar el blog ,nuestros trabajos, y método de calificación

Función implícita de dos variables: Geométricamente representa una curva en el plano.

y = f(x) v x = f(y)

Cada función representa una curva en el plano y su intersección genera uno o más puntos.

SUPERFICIES CILÍNDRICAS

La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. la superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.

Las superficies cilíndricas pueden ser

superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene reemplazando en la ecuación de la curva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son:

despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene:

Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.

LA RECTA EN R^3 (Recta en el Espacio)

Fundamentos Teóricos

Vectores
Rectas en el espacio
El plano en el espacio

Objetivos Generales

Recordar los conceptos importantes a cerca de estos temas.
Realizar ejercicios que involucren los temas a estudiarse

Ecuación vectorial de la recta

Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y U su vector director, el vector

tiene igual dirección que U , luego es igual a U multiplicado por un escalar:

ecuación vectorial de la recta en el espacio

Ecuaciones paramétricas de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

RECTA DETERMINADA POR 2 PUNTOS

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta.

Ejemplo

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Ejemplo

MARTES 08 DE JULIO

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Ejemplo

EL PLANO

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).

Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo.
Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.
Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.
Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.

Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x0, y0, z0)

Vector u = (a1, b1, c1)

Vector v = (a2, b2, c2)

Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector N(A,B,C)normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:

A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)

Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo

TUTORIAL:

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

Ecuaciones Incompletas del Plano

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:N=B.j+C.K

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma: N=A.i+C.K

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0, Siendo el vector director normal al plano de la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

C.z + D = 0 ; z = Cte.

Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

B.y + D = 0 ; y = Cte.

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:

A.x + D = 0 ; x = Cte.

Plano que pasa por dos puntos.- Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:

Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:

Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:

y desarrollando el determinante:

b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c

o, lo que es igual :

Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:

Posiciones relativas de dos planos.- Siendo los planos π1 y π2 de ecuaciones:

El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:

Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:

Cuando los planos son perpendiculares, se tiene cos θ = 0 y la ecuación (2) toma la forma:

o lo que es igual:

A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0

Ejemplo:

MIÉRCOLES 09 DE JULIO

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA ESFERA

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.

Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

Ecuación paramétrica

En un espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parametrizados.

ANÁLISIS GRÁFICO DE SUPERFICIES

Para realizar este análisis gráfico debemos seguir los siguientes pasos:

Intersección con los ejes coordenados

Con el eje ox
Con el eje oy
Con el eje oz

Intersección con los planos coordenados

Con el plano xoy
Con el plano xoz
Con el plano yoz

Intersección con los planos paralelos a los planos coordenados

Plano paralelo al plano xoy
Plano paralelo al plano xoz
Plano paralelo al plano yoz

JUEVES 10 DE JULIO

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).

La función vectorial también se puede encontrar representada.

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un

vector:

F: I →ℝ* , definida como F(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) )

Donde: I ⊆ ℝ ; t pertenece I

* es el numero de componentes de F(f)

x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes

de variable real del parámetro t.

Si F(t) toma valores en * = 3 , entonces F(t) = ( f1(t) i , f2(t) j , f3(t) k ) , o también

F(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) Por tanto las ecuaciones paramétricas son:

f1(t) = x(t)

f2(t) = y(t)

f3(t) = z(t)

Asi, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).

Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:

r(t) = ( f(t), g(t) ) … … … . plano

r(t) = ( f(t) , g(t), h(t) ) … . espacio

DOMINIO (Dom F(t))

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

Si F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t),... fn(t) ) el DF(t)= Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 ∩ … … . . Dfn

RANGO O RECORRIDO (Rang F(t))

El rango de una función vectorial esta dado por la unión de los rangos de cada una de las funciones componentes, es decir:

Si F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t),... fn(t) ) el RF(t)= Rf1 U Rf2 U Rf3 U … … . . Rfn

OPERACIONES

Sean F: I →ℝ* ; G: I →ℝ* h : J → I

Donde I , J , pertenece ℝ y $\alpha$ pertenece ℝ; se cumple

1. (F + G)(t) = (f1(t) , f2(t) ,... fn(t)) + (g1(t) , g2(t) ,... gn(t))

= (f1(t) + g1(t) , f2(t) + g2(t) , ... fn(t) + gn(t)) , t pertenece Dom F ∩ Dom G

2. ( $\alpha$ F)(t) = $\alpha$ (f1(t) , f2(t) ,... fn(t))

= ( $\alpha$ f1(t) , $\alpha$ f2(t) ,... $\alpha$ fn(t)) , t pertenece al DomF y $\alpha$ pertenece ℝ

3. ( F/G) (t) = (F(t) / G(t)) = f1(t) g1(t) + f2(t) g(t) + ... fn(t) gn(t) , t pertenece al DomF

F(t)

= $\sqrt{\ }$ (F/F) = $\sqrt{\ }$ (f1(t))2 +(f2(t))2+.... (fn(t))2) , t pertenece al DomF

5. si * = 3 ; t pertenece al DomF ∩ Dom G

I i j k I

F x G = I f1(t) f2(t) f3(t) I

I g1(t) g2(t) g3(t) I

6. (F o h)(t) = F(h(t))

= (f1 (h(t)) , f2(h(t)) , ... fn(h(t))) , t pertenece al DomF ∩ Dom h

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z).

Las cuales se llaman ecuaciones parametricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Dada una función vectorial

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector se acerca más y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

Dada una función vectorial F(t) = (x(t) , y(t) , z(t))

lim F(t) = ( lim x(t) , lim y(t) , lim z(t) ) = ℓ

t→a t→a t→a t→a

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector F(t) se acerca más y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

CONTINUIDAD

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.

Sea F: I →ℝ* y sea to pertenece I , se dice que F es continua en to ssi:

- Existe el vector F(to)

- Existe el lim F(t)

- lim F(t) = F(to)

t→to

Observacion:

Se dice que F(t) es continua en to , si cada una de las componentes de F(t) es continua

lim F(t) = F(to) entonces lim fi(t) = fi(to)

t→to t→to

Propiedades

Sean F y G funciones vectoriales de variable real continuas en to, entonces

F(t) + G(t) es continua en to
$\alpha$ F(t) es continua en to
F(t) / G(t) es continua en to
si *=3 , entonces (F * G)(t) es continua en to
Si h es una funcion real continua en to y F(t) es continua en h(to) entonces F o h (t) es continua en to.

Observaciones:

- Si no existe lim F(t) , se dice que F(t) es discontinua inevitable

t→to

- Si existe lim F(t) , pero lim F(t) no es igual F(to) , entonces F(t) es discontinua

t→to t→to evitable y se debe redefinir .

VIERNES 11 DE JULIO

Fundamentos Teóricos

Derivación e Integración de funciones vectoriales de variable real.

Objetivos Generales

Relacionar los conocimientos anteriores con los que se van a obtener.

Competencias a Desarrollar

Realizar ejercicios en los cuales se involucre la nueva materia y pongamos en practica lo aprendido anteriormente.

DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

Estudiaremos la derivada de una función vectorial y se establecerán algunas reglas para la derivación de sumas y productos de funciones vectoriales.

P(u) => P(u) es una funcion vectorial de la variable escalar u, es decir, el escalar u define por completo el módulo, dirección y sentido del vector..

Si representamos el vector P en un eje de cartesianas, se va a representar siempre con un mismo origen O, haciendo variar el escalar u, y el extremo de P describirá una curva en el espacio.

Dividiendo ambos miembros por Au, y haciendo tender a cero Au, obtenemos la derivada de la funcion vectorial P(u).

Sea la función vectorial F(t) entonces diremos que F′ (t) es la derivada de dicha función y se define mediante:

F ′ (t) = lim ( F(t) +Δt − F(t) ) / Δt

Δt→0

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite.Cuando el límite existe para t = a se dice que F(t) es derivable en t = a.

Teorema. Sea F(t) una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f1, f2 y f3 son todas derivables para algún valor de t, entonces F(t) es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

F ′(t) = (f 1′ (t) ,f2 ′ (t) ,f3 ′(t))

Propiedades

Sean F y G dos funciones vectoriales de I →ℝ* y g fun cion real I → J; se cumple

1. ( $\alpha$ F + β G)(t) = $\alpha$ F ′(t) + β G ′(t)

2. ( F/G) ′ (t) = (F(t) / G(t)) = (F ′(t) / G (t)) + (F (t) / G ′(t))

3. si * = 3

( F x G) ′ (t) = (F ′(t) x G (t)) + (F (t) x G ′(t))

4. (F o g) ′(t) = F(g(t)) g′ (t)

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora.

INTEGRAL INDEFINIDA

Si F(t) es cualquier antiderivada de f (t), la integral indefinida de esta se define como

∫ f (t) dt = F(t) + c

Donde c es un vector constante arbitrario.

INTEGRAL DEFINIDA

Para la función vectorial f (t) , se define la integral de la misma

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f (t) dt = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f 1(t) ,f2(t) ,f3(t)) dt = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f 1(t) dt , This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f2(t) dt , ... This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

fn(t) dt

Para que exista This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f (t) dt es necesario que exista cada una de las integrales This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

f i (t) dt

i = 1, 2, ... n

Propiedades

( $\alpha$ F (t) + β G (t) ) dt = $\alpha$ This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

F (t) + β

G (t)

( c / F(t)) dt = (c(t) / This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

F(t) dt) )

3. I

F(t) dt I = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

I F (t)I dt

4. Si G es una función continua para cada t que pertenece [a,b] y si F

F (t) = at G(u) du , entonces F′ (t) = G(t)

5. Si F(t) tiene derivada continua en [a,b] , entonces This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

F(t) dt = F(t) - F(a)

BIBLIOGRAFÍAS: