SEGUNDA SEMANA

CALCULO VECTORIAL

Contenido

• TRIEDRO DE FRENET.
• VECTOR TANGENTE.
• VECTOR NORMAL PRINCIPAL.
• VECTOR BINORMAL.
• LONGITUD DE LA CURVA.
• CURVATURA Y TORSIÓN.
• CURVATURA, RADIO DE CURVATURA
• TORSIÓN.
• PLANOS DEL TRIEDRO DE FRENET.
• FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
• DOMINIO DE DEFINICIÓN O CAMPO DE EXISTENCIA
• GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL
• DEFINICIÓN DE LÍMITE
• TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES
• CONTINUIDAD
• DERIVADAS PARCIALES

LUNES 14 DE JULIO

Triedro de Frenet.

Definición del Método.

Sea T ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b] → R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una

parametrización regular y α : I′ = [a′, b′] → R3 su parametrización respecto el

parámetro arco.

A partir de la primera y segunda derivada de la parametrización de la curva

se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t), son

tres vectores unitarios y ortonormales, T(t), B(t) y N(t). Es decir, el triedro de

Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporciona

información sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia móvil,

porque se desplaza por la curva según la recorremos.

A partir de los vectores del triedro de Frenet construiremos planos (el osculador, el normal y el rectificante). También introduciremos los conceptos de curvatura y torsión, que nos darán información de cómo se “dobla” y “retuerce” la curva en el espacio.

Para llegar calcular el Triedro de Frenet en cualquier punto de una curva, lo primero que debemos hacer es parametrizarla (en el caso de que no lo este). Una vez que hallamos parametrizado la curva en cuestión, generalmente mediante coordenadas polares, podemos comenzar a “construir” nuestro Triedro de Frenet.

Vector Tangente.

Lo primero que deberíamos hacer es calcular el vector Tangente del triedro, ya que sobre él están basadas todos los cálculos posteriores. Para calcularlo utilizaremos la siguiente fórmula:

T=r′(t)|r′(t)|

*Donde r (t) es el vector que define a nuestra curva ya parametrizada, r’(t) es su derivada y |r’(t)| es el módulo de la derivada.

Vector Normal Principal.

En segundo lugar debemos calcular el vector Normal Principal del triedro, para hallar su expresión usaremos esta fórmula:

N=T′(t)|T′(t)|

*Donde T’ (t) es la derivada del vector Tangente y | T’ (t) | es el módulo de la derivada.

Vector Binormal.

En último lugar para completar el Triedro de Frenet, tenemos la necesidad de hallar cual es el vector Binormal, el cual es normal al Vector Tangente y al Vector Normal Principal, de ahí que podamos calcularlo mediante un simple producto vectorial entre ambos vectores:

B = T x N

Ejemplo

1 DE 3

 

 2 DE 3

  

3 DE 3

 

Longitud de la curva.

Otro apartado importante, que se ve junto con el Triedro de Frenet, es como poder llegar a calcular la longitud de la curva con la que estamos trabajando.

Generalmente, usaremos la siguiente expresión:

L=∫ba|r′(t)|dt

Sin embargo, un muchas ocasiones esta integral no posee una primitiva con la cual calcular el valor de L, por lo que deberemos usar Métodos de Integración Numérica para poder aproximar el valor de L. Todos estos métodos suelen dar valores muy cercanos al verdadero, con errores inferiores al 5%.

Uno de los métodos que, personalmente, recomiendo es La Regla del Trapecio, debido principalmente a la facilidad de su uso y de su recordatorio. La cual es la siguiente:

∫baf(x)dx∼b−a2(f(a)+f(b))

Curvatura y Torsión.

Otra de las cosas que veremos en este apartado de la asignatura de Cálculo II, es la curvatura, así como el radio de curvatura, y también la torsión, todas ellas características propias de la curva que estamos estudiando.

• Curvatura, radio de curvatura y círculo osculador.

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Su expresión es:

K=T′(t)|r′(t)|

De esta misma manera, definimos el radio de curvatura como la magnitud que mide la curvatura de un objeto geométrico, tal como una línea curva, una superficie o ,más en general, una variedad diferenciable definida en un espacio euclídeo. Su expresión es:

ρ=1K

En este apartado, además veremos el círculo osculador, que por así decirlo es el que “besa” a la curva en un punto dado. Una definición un poco más técnica sería esta: es una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la normal a la curva y tiene la misma curvatura que la curva dada en ese punto. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz, en un punto de la curva, son llamados centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. El plano en el que está contenida la circunferecia osculatriz se denomina plano osculador.

*Donde el radio de curvatura es ρ.

• Torsión.

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano, la torsión es nula, ya que, el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Su expresión es:

τ=−N∗dBds=−T′(t)|T′(t)|∗T(t)∗N′(t)|r′(t)|

Planos del Triedro de Frenet.

Por último, en este apartado de la asignatura, debemos aprender a calcular y a dominar los conceptos de plano Normal, Rectificante y Osculador.

Como podemos ver en la imagen el Plano Normal es perpendicular al Vector Tangente, el Plano Rectificante es perpendicular al Vector Normal Principal y el Plano Osculador es normal al Vector Binormal. Sus expresiones son:

Plano Normal.

(X−r(t))∗T=0

Plano Rectificante.

(X−r(t))∗N=0

Plano Osculador.

(X−r(t))∗B=0

PARA MAS IMFORMACION DE CURVAS HAS AQUI

MARTES 15 DE JULIO

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Marco Teórico

• Funciones reales de varias variables
• Dominios de funciones de dos variables

Introducción:

Este día empezamos la clase con un tema estudiado anteriormente que fue funciones vectoriales de una variable real  pero solo que esta vez estudiaremos este tema con  2 variables independientes (x, y) y otra dependiente (z) conocido como funciones reales de varias variables.

Antes de empezar a estudiar el tema de funciones reales de varias variables  revisamos primero la definición de que es una función de varias variables, el dominio y rango de funciones de 2 variables, dominio cerrado, dominio abierto, frontera y puntos internos.

Por último una vez comprendido este tema realizamos algunos ejercicios, en los cuales la ingeniera nos explicó cómo se realiza el análisis de una función con varias variables y como resolver el dominio de las funciones indicadas.

Objetivos:

• Comprender las funciones reales de varias variables
• Identificar la variable independiente y las variables dependientes de la función
• Recordar temas anteriormente estudiados para resolver ejercicios de funciones de varias variables
• Graficar los dominios en el plano y en el espacio

Capacidades a Desarrollar

• Agilidad Mental
• Desarrollo del pensamiento matemático al momento de realizar los ejercicios de dominio
• Desarrollar una visión espacial de las ecuaciones de las funciones de varias variables
• Poner en práctica conocimientos adquiridos
• Realizar el análisis del dominio de una función de varias variables  de forma sencilla

Funciones de varias variables

Es una función de n variables con valores reales, en donde x, y serás variables independientes y z será una variable dependiente.

Dominio de funciones de dos variables:

El dominio puede ser sólo una parte del plano denominado región o todo el plano R^2

• Frontera: es la curva que delimita la región
• Puntos de la Frontera: Son todos los pares ordenados (x ,y) que son elementos de la frontera, que pueden o no estar incluidos en ésta.
• Puntos Internos: Son todos los pares ordenados (x, y) que están dentro de la frontera

El análisis del dominio:

1.- Analíticamente

2.- Gráficamente: (en R^2 si se desea pero obligatorio en R^3)

3.- Descriptivamente

DOMINIO DE DEFINICIÓN O CAMPO DE EXISTENCIA

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Por otra parte, el conjunto de todos los resultados posibles de una función dada se denomina imagen de esa función.

El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

MIÉRCOLES 16 DE JULIO

GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL

La gráfica de una funci on de dos variables f(x; y) es el conjunto de todos los puntos (x; y; z) tales que z = f(x; y) para (x; y) 2 Dom(f). La gr a ca de f(x; y) es una super cie en el espacio.

Otra forma de obtener información gráfica acerca de una función son las curvas de nivel.

Estas se obtienen intersecando la gráfica de f(x; y) (cuya ecuación es z = f(x; y)) con planos

horizontales (de ecuación z = c, c 2 R), es decir, intersecando

z = f(x; y); (Gr a ca de f);z = c; (Plano horizontal de altura c):

Por tanto la ecuación implicita de cada curva de nivel viene dada por

f(x; y) = c:

Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel. Cada curva de nivel une los puntos del plano en los que f toma el mismo valor.

Límite y Continuidad de una función de varias variables

Marco Teórico

• Límite de una función de varias variables
• Continuidad de una función de varias variables

Introducción

Empezamos definiendo el entorno o vecindad, discos de centro

para empezar con el estudio de límites de funciones de varias variables.

Luego para la continuidad establecimos los pasos a seguir para determinar si una

función es continua o discontinua en un punto.

Por último procedimos a realizar ejercicios de límites y la ingeniera nos fue explicando

cómo realizar estos ejercicios con demostraciones de la definición de límites  y como

determinar los límites en coordenadas polares.

Objetivos:

• Aprender cuál es la definición de un límite y aprender a realizar su demostración en una función de varias variables
• Recordar cómo se resolvían los límites en funciones reales
• Aplicar las formas de resolución de límites en una función real para poder resolver los ejercicios de límites en una función de variables real
• Aprender el método para descubrir si una función es continua o discontinua en un punto o intervalo
• Reconocer cuándo un función discontinua evitable e inevitable
• Resolver ejercicios de continuidad y poner en práctica las definiciones y propiedades aprendidas
• Aprender a redefinir una función

Capacidades a Desarrollar

• Aplicar las propiedades de los límites correctamente al momento de resolver ejercicios
• Aprender a aplicar los teoremas y propiedades
• Realizar los ejercicios siguiendo los pasos que ayudan a determinar cuándo es continua y discontinua una función
• Interpretación de resultados obtenidos al buscar la continuidad de una función
• Desarrollo de pensamiento matemático al momento de resolver los ejercicios propuestos
• Interpretación y entendimiento de los ejercicios planteados

PARA MAYOR APRENDIZAJE DEL TEMA MIRA ESTE VIDEO

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES

El cambio a coordenadas polares en el punto (a; b) viene dado por

x = a + cos( ); > 0; 2 [0; 2 ];

y = b + sen( );

donde es la distancia del punto (x; y) al punto (a; b) y es el angulo que forma el vector que une (a; b) y (x; y) con la horizontal medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuando se conoce el módulo del vectorV=OP y el ángulo α que forma con el eje OX, las coordenadas de P son:

x = || · cos α

y = || · sen α

Coordenada x

x = || · cos α

Coordenada y

y = || · sen α

JUEVES 17 DE ABRIL

CONTINUIDAD

Decimos que una funcion f : R*  → R* con dominio D es continua en un punto (xo,yo)∈ D cuando :

i) Existe el vector f (Xo,Yo)

ii) Existe el   lim f  (X,Y)

                   (X,Y) → (Xo, Yo)

iii) lim f (X, Y)  =  f (Xo, Yo)

    (X,Y) → (Xo, Yo

Que exista el límite de la función en el punto x = a.

     

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función es continua en .

Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.

VIERNES 18 DE ABRIL

DERIVADAS PARCIALES

La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes.

En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.

Derivada parcial de una función de varias variables.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable).

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:     :

Para ello recordemos que la derivada de la función  z = eu  es:   z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

 Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

 Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables  w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.

BIBLIOGRAFIA:

• http://www.clubdeexploradores.org/bytcurvas.htm

• http://www.geoan.com/vectores/coordenadaspunto.html

• http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Sistemas%20de%20coordenadas.htm

•  Seguda semana en on drive