CALCULO VECTORIAL 2014- R: TERCERA SEMANA

CALCULO VECTORIAL

Contenido

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
INCREMENTOS PARCIALES Y TOTALES
TEOREMA DE APROXIMACIÓN LINEAL
REGLA DE LA CADENA
DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
INTEGRALES MÚLTIPLES
INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES ITERADAS
COORDENADAS POLARES
COORDENADAS ESFÉRICAS
COORDENADAS CILÍNDRICAS

TERCERA SEMANA

LUNES 21 DE JULIO

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

MARTES 22 DE JULIO

INCREMENTOS PARCIALES Y TOTALES

y representa el cambio en la altura de la curvay=f(x) y dy representa la variación en y a lo largo de la recta tangente cuando x varía en una cantidad $\,dx\,=\, \Delta x\,$ .

En la siguiente figura se muestra df y f.

Observe que y-dy se aproxima a cero más rápidamente que $\,\Delta x\,$ , ya que

$\,\displaystyle{\epsilon\,= \, \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x ... ...x)\Delta x}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)}\,$

y al hacer $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$ , tenemos que $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$ .

Por tanto

$\begin{displaymath}\Delta y \, = \, dy + \epsilon\, \Delta x\end{displaymath}$

Ahora consideremos una función de dos variables z=f(x,y).

Si $\,x\,$ y yson incrementados $\,\Delta x\,$ y y, entonces el correspondiente incremento de $\,z\,$ es

$\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\end{displaymath}$

TEOREMA DE APROXIMACIÓN LINEAL

Dada una curva y=f(x) usamos su recta tangente(y=L(x)) en el punto (a, f(a)) como una aproximación de la curva, cuando x tenga valores muy cercanos de a.

REGLA DE LA CADENA

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a xpuede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $f\,$ es diferenciable en $x\,$ y $g\,$ es una función diferenciable en $f(x)\,$ , entonces la función compuesta $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ es diferenciable en $x\,$ y

$(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)$

MIÉRCOLES 23 DE JULIO

DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

La derivada de la función implícita

definida mediante la ecuación

puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

yt=-FxFy, siempre queFy0

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables

definida mediante la ecuación

puede calcularse mediante las fórmulas:

;

, siempre que

Dada la ecuación

Si el punto

cumple la ecuación

, la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de

entonces la ecuación

define una función explícita

en un entorno de

con

Dada la ecuación

Si el punto

cumple la ecuación

, la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de

entonces la ecuación

define una función explícita

en un entorno de dicho punto.

JUEVES 24 DE JULIO

DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector

el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario

de la dirección del vector

(dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector

, es decir

,con lo cual

, de donde

, y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)

Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

Derivación de una función compuesta.

Sea una función de n variables, z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras m variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... . Es decir, tengamos:

De una manera simbólica expresaremos esta dependencia lineal entre las variables así:

En ultima instancia la función z depende de las x, y,... . Vamos a expresar las derivadas de la función z con respecto a esas variables, que siguen la misma pauta multiplicativa de las funciones de una variable:

Para establecer estas derivadas nosotros debemos guiarnos por el esquema de la dependencia lineal.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Sea la función

, donde a su vez, u, v son funciones de las variables x, y de la forma:

Vamos a hallar las derivadas parciales de z con respecto a x, y con respecto a y.

Para ello fijémonos, primeramente, en la dependencia lineal de la función z:

De aquí que podamos expresar las derivadas parciales de z como:

Ahora hacemos directamente cada una de las derivadas de ambos miembros de la derecha, y obtenemos:

Ejemplo 2: Sea la función z(u, v) = u2 + v2, siendo u, v tales que:

y a su vez, siendo t, p tales que:

. Hallemos las derivadas de z respecto de x, y.

Bien, en consonancia con el enunciado, la dependencia de la función z con respecto a las variables ultimas x,y es la siguiente:

En el fondo tenemos la función z como dependiente de las variables x, y. Por tanto, las dos derivadas primeras se expresarán:

Derivadas de una función compuesta (ordenes superiores).

Sea una función de varias variables z = f(u, v, ...), a su vez, supongamos que esas variables dependen de otras variables u=u(x,y...), v=v(x,y,..)... , según una cierta dependencia lineal. Vamos a ver ahora cómo establecer las derivadas segundas, terceras, etc.

Para ello debe tenerse en cuenta el siguiente lema: "Las derivadas de una función tienen la misma dependencia lineal que la función. Esto significa que el esquema que utilizamos para una cierta función z=f(u, v, ...) es valido para cada derivada, de cualquier orden".

Aclaremos mediante un ejemplo.

Sea la función z = 5 x2 y – y2 , donde las variables x, y se encuentran expresadas como dependientes de las coordenadas polares:

Vamos a hallar las derivadas segundas de z con respecto a las variables r, j.

La dependencia lineal de la función z con respecto a estas dos variables es:

Entonces, las derivadas primeras de z son:

Para hallar las derivadas segundas de z hay que derivar estas derivadas primeras, para ello debemos: (1) dejarlas solamente con las variables x, y; (2) considerar el lema anterior.

(1). De las relaciones entre las variables (x, y) y las (r,j) fácilmente se deduce:

que sustituyendo en las derivadas nos queda:

(2). Con las derivadas así expresadas, ya podemos comprender que estas son funciones de (x,y) que a su vez siguen siendo funciones de (r,j), es decir, la dependencia de cada una de ellas es la misma que la de z (tal como dice el lema):

Y siguiendo estos esquemas tendremos para las derivadas segundas:

Ahora sustituimos en los miembros de la derecha, dentro de los paréntesis, las expresiones correspondientes de la derivada primera. Por ejemplo, vamos a hacer la última de ellas:

y ahora derivamos estos paréntesis y también sustituimos el valor de las derivadas con respecto de j.

es decir,

VIERNES 25 DE JULIO

máximos y mínimos mediante el Hessiano.

Otra forma, algo menos efectiva, de estudiar los máximos y mínimos locales de una función de n variables, es la utilización del Hessiano.

Sea una función de n variables, vrvr1.gif (197 bytes)

, se llama Hessiano de esta función al determinante:

O más concretamente se habla del "Hessiano de la función f en el punto

en el que cada derivada segunda de f está realizada en el punto P.

A partir de este determinante hessiano se elimina la ultima fila y la ultima columna, con lo que se obtiene el "hessiano reducido", D1 . Entonces, de forma general, la manera de operar es la siguiente:

A) En primer lugar, hallamos los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo (sus derivadas primeras son todas nulas), resolviendo el sistema:

B) Para cada uno de estos puntos P que cumplen la condición necesaria hallamos el hessiano y el hessiano reducido, vrvr6.gif (189 bytes)

Entonces, lo que puede decirse de P está expresado en la siguiente tabla:

en el caso de que alguno de estos hessianos sea nulo ese punto queda indeterminado y habría que utilizar el método de la diferencial visto en la cuestión anterior.

Para el caso de una función de dos variables z = f(x,y), estos hessianos se reducen a los siguientes:

Para el ejemplo anterior de la función z = f(x, y) = 2 x3 + 2 y3 – x2 – y2 – 2 xy , podemos operar así:

Primeramente hallaríamos los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo, de la misma manera que se ha visto antes. Estos dos puntos son:

. Y a continuación hacemos el estudio de los hessianos para cada uno de estos dos puntos.

a) Para el punto (2/3, 2/3):

Se trata del caso 1-b) de la tabla de arriba, lo cual nos indica que en este punto la función tiene un mínimo local.

b) Para el punto (0,0):

que se trata de un caso indeterminado, por lo que no podemos asegurar nada respecto del punto (0,0) mediante este método.

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.

El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:

donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos

$\nabla$ [f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.

$F(x,y)=f(x,y)-\lambda (g(x,y)-c)$

de forma tradicional. Eso es, F(x,y) = f(x,y)

para todo (x, y) satisfaciendo la condición porque g(x,y)-c

es igual a cero en la restricción, pero los ceros de $\nabla$ F(x, y) están todos.

Ejemplo:

1 de 2

2 de 2

LUNES 28 DE JULIO

INTEGRALES MÚLTIPLES

De la misma manera en que la integral de una función positiva f(x)

de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f(x,y)

de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f(x,y,z)

definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f(x,y,z)=1

el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

$\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n$

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES ITERADAS

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$

se refiere a una integral iterada, la parte externa

$\int_a^b \cdots \, dx$

Coordenadas Polares

$f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta )$ En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si la función es $f(x,y) = x + y\,\!$

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a $\phi$ y a $\rho$ .

$f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).$

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es $f(x,y) = x^2 + y^2\,\!$

Uno tiene:

$f(\rho, \theta) = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2\,\!$

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{vmatrix} = \rho$

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a $\theta$ .

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

$\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \, d \rho\, d \theta.$

Coordenadas Esféricas

$f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\!$ Cuando existe simetría esférica en un dominio en R3, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \phi\\ - \rho \sin \theta \sin \phi& \rho \cos \theta \sin \phi & 0 \\ \rho \cos \theta \cos \phi & \rho \sin \theta \cos \phi & - \rho \sin \phi \end{vmatrix} = - \rho^2 \sin \phi$

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.

Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

$\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho\, d\theta\, d\phi.$

Ejemplo:

Coordenadas Cilíndricas

$f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta, z)$ El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho$